最大子矩形问题

Hervey Lv3

0 前言

最近做到了很多关于求解最大子矩形的问题,写个博客稍微总结一下 (顺便整理一下模板)

1 一些基本定义

  1. 有效子矩形:内部不包含任何障碍点且边界与坐标轴平行的子矩形。
  2. 极大有效子矩形:不存在包含它且比它大的有效子矩形的有效子矩形。
  3. 最大(有效)子矩形:所有极大有效子矩形中最大的一个(或多个)有效子矩形。

2 两种常用的算法

算法1 基于障碍点的算法

例题1 奶牛浴场

题目描述

由于 John 建造了牛场围栏,激起了奶牛的愤怒,奶牛的产奶量急剧减少。为了讨好奶牛,John 决定在牛场中建造一个大型浴场。但是 John 的奶牛有一个奇怪的习惯,每头奶牛都必须在牛场中的一个固定的位置产奶,而奶牛显然不能在浴场中产奶,于是,John 希望所建造的浴场不覆盖这些产奶点。这回,他又要求助于 Clevow 了。你还能帮助 Clevow 吗?

John 的牛场和规划的浴场都是矩形。浴场要完全位于牛场之内,并且浴场的轮廓要与牛场的轮廓平行或者重合。浴场不能覆盖任何产奶点,但是产奶点可以位于浴场的轮廓上。

Clevow 当然希望浴场的面积尽可能大了,所以你的任务就是帮她计算浴场的最大面积。

输入格式

输入文件的第一行包含两个整数 ,分别表示牛场的长和宽。

文件的第二行包含一个整数 ,表示产奶点的数量。

以下 行每行包含两个整数 ,表示一个产奶点的坐标。

所有产奶点都位于牛场内,即:

输出格式

输出文件仅一行,包含一个整数 ,表示浴场的最大面积。

样例 #1

样例输入 #1
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样例输出 #1
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提示

对于所有数据,

Winter Camp 2002

题解

这道题障碍点数较小,适合使用基于障碍点的算法实现

先将障碍点按横坐标排序(以 坐标为第一关键字, 坐标为第二关键字)

从第1个障碍点开始,从左至右依次扫描每个障碍点

一开始设置上下边界为 ,不断通过加入新的障碍点缩小上下边界范围

即对于任何一个新加入的障碍点 :

如果该点位于 下方 ,则更新下边界

反之,如果该点位于 上方 ,则更新上边界

同时计算以障碍点 所在竖直线与上下两端的极大有效子矩形面积:

同理,从右至左扫描再扫描一次

但是这样还不够,我们还没有考虑宽度与原矩形相同的极大有效子矩形

因此还需要将障碍点按纵坐标排序(以 坐标为第一关键字, 坐标为第二关键字)

计算由相邻障碍点 所在水平线与左右两端围成的极大有效子矩形面积:

通过以上方法求得的极大有效子矩形面积的最大值即为最大(有效)子矩形的面积

总体时间复杂度 ( 为障碍点数)

代码

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#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 5000 + 5;

int l, w, n;
struct Point
{
int x, y;
Point(int x = 0, int y = 0) : x(x), y(y) {}
} p[N];

int main()
{
scanf("%d%d%d", &l, &w, &n);
for (int i = 1; i <= n; i++)
scanf("%d%d", &p[i].x, &p[i].y);
// 将四个顶点设置为障碍点
p[++n] = Point(0, 0);
p[++n] = Point(0, w);
p[++n] = Point(l, 0);
p[++n] = Point(l, w);
// ans记录最大子矩形面积
int ans = 0;
// 障碍点法求解
// 矩形边界
int x1, y1, x2, y2;
// 横向扫描
sort(p + 1, p + n + 1, [&](Point A, Point B)
{ return A.x < B.x || A.x == B.x && A.y < B.y; });
// 自左向右
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
x1 = p[i].x, y1 = 0, y2 = w;
for (int j = i + 1; j <= n; j++)
{
x2 = p[j].x;
ans = max(ans, (x2 - x1) * (y2 - y1));
if (p[j].y < p[i].y)
y1 = max(y1, p[j].y);
else
y2 = min(y2, p[j].y);
}
}
// 自右向左
for (int i = n; i >= 1; i--)
{
x2 = p[i].x, y1 = 0, y2 = w;
for (int j = i - 1; j >= 1; j--)
{
x1 = p[j].x;
ans = max(ans, (x2 - x1) * (y2 - y1));
if (p[j].y < p[i].y)
y1 = max(y1, p[j].y);
else
y2 = min(y2, p[j].y);
}
}
// 纵向扫描
sort(p + 1, p + n + 1, [&](Point A, Point B)
{ return A.y < B.y || A.y == B.y && A.x < B.x; });
for (int i = 1; i < n; i++)
ans = max(ans, l * (p[i + 1].y - p[i].y));
// 输出答案
printf("%d\n", ans);
return 0;
}

算法2 悬线法

例题2 玉蟾宫

题目背景

有一天,小猫 rainbow 和 freda 来到了湘西张家界的天门山玉蟾宫,玉蟾宫宫主蓝兔盛情地款待了它们,并赐予它们一片土地。

题目描述

这片土地被分成 个格子,每个格子里写着 ‘R’ 或者 ‘F’,R 代表这块土地被赐予了 rainbow,F 代表这块土地被赐予了 freda。

现在 freda 要在这里卖萌。。。它要找一块矩形土地,要求这片土地都标着 ‘F’ 并且面积最大。

但是 rainbow 和 freda 的 OI 水平都弱爆了,找不出这块土地,而蓝兔也想看 freda 卖萌(她显然是不会编程的……),所以它们决定,如果你找到的土地面积为 ,它们每人给你 两银子。

输入格式

第一行两个整数 ,表示矩形土地有 列。

接下来 行,每行 个用空格隔开的字符 ‘F’ 或 ‘R’,描述了矩形土地。

输出格式

输出一个整数,表示你能得到多少银子,即 () 的值。

样例 #1

样例输入 #1
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5 6 
R F F F F F
F F F F F F
R R R F F F
F F F F F F
F F F F F F
样例输出 #1
1
45

提示

对于 的数据,
对于 的数据,

题解

这道题障碍点数可能到达 ,算法1可能会被卡,因此使用悬线法。

悬线法

悬线的定义(引用自悬线法 - OI Wiki)

悬线,就是一条竖线,这条竖线有初始位置和高度两个性质,可以在其上端点不超过当前位置的矩形高度的情况下左右移动。

对于矩形中的任意一个点 , 定义三个量 , , ,分别表示 悬线的高度悬线最多能向左拓展到的位置坐标悬线最多能向右拓展到的位置坐标

先考虑计算 : 如果该点为障碍点,那么其悬线高度显然为 ,反之,则为 .

再考虑计算 , 易知初始情况下

以向左拓展悬线计算 为例:

  • 如果当前已经拓展到边界,即 ,则不可以再进行拓展

  • 如果当前点的左侧悬线高度 小于 该点悬线高度,即 ,则不可以再进行拓展

  • 如果当前点的左侧悬线高度 大于等于 该点悬线高度,即 ,则可以继续向左拓展,而且 位置所能拓展到最左侧的位置从 位置开始也必定能拓展到,可以递推求解

可以证明,最终每个 最多会被其他的 遍历一次,因此每次拓展的时间复杂度为

最大子矩形的面积为

整体的时间复杂度为

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#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 1000 + 5;

int n, m;
char a[3];

int h[N], l[N], r[N];

int main()
{
scanf("%d%d", &n, &m);
int ans = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
// 初始化数组
for (int j = 1; j <= m; j++)
l[j] = r[j] = j;
// 更新高度
for (int j = 1; j <= m; j++)
{
scanf("%s", a);
if (a[0] == 'F')
h[j]++;
else if (a[0] == 'R')
h[j] = 0;
}
// 向左扩展
for (int j = 1; j <= m; j++)
while (l[j] != 1 && h[l[j] - 1] >= h[j])
l[j] = l[l[j] - 1];
// 向右扩展
for (int j = m; j >= 1; j--)
while (r[j] != m && h[r[j] + 1] >= h[j])
r[j] = r[r[j] + 1];
// 计算极大有效子矩形面积并更新答案
for (int j = 1; j <= m; j++)
ans = max(ans, (r[j] - l[j] + 1) * h[j]);
}
printf("%d\n", ans * 3);
return 0;
}

参考资料

《浅谈用极大化思想解决最大子矩形问题》, 王知昆 , 2003年集训队论文

悬线法 - OI Wiki

  • 标题: 最大子矩形问题
  • 作者: Hervey
  • 创建于 : 2024-01-26 20:47:54
  • 更新于 : 2025-03-02 14:22:23
  • 链接: https://herveyb3b4.github.io/2024/01/26/Alogrithm/Notes/Maximum-Subrectangle-Problem/
  • 版权声明: 本文章采用 CC BY-NC-SA 4.0 进行许可。